Spesso sentiamo dire da molti colleghi che la matematica consiste principalmente nel dimostrare teoremi. Ma il lavoro di uno scrittore è principalmente quello di scrivere frasi? La matematica e il suo impatto nel settore delle TIC è sicuramente molto più di questo.
La matematica per una volta fondamentale
Quando ero un giovane studente, mi fu raccontata la seguente storia e rimasi abbastanza stupito di quanto possa essere incisiva la potenza dell’immaginazione (e della sua applicazione) in matematica allo scopo di risolvere problemi inestricabili: Un matematico stava attraversando il deserto sul suo cammello, quando incontrò tre fratelli, apparentemente molto occupati. Il padre era appena morto e gli aveva lasciato in eredità 17 cammelli, con disposizioni testamentarie decisamente singolari. Potete giudicare da soli: il più anziano avrebbe dovuto ricevere la metà, il secondo un terzo e il più giovane un nono. La mente del matematico, invitata a dividere un numero primo secondo il rapporto prescritto, trovarono rapidamente la soluzione: aggiunse generosamente il suo cammello ai 17 cammelli dell’eredità, in modo che il più fratello anziano potesse ricevere 9 cammelli, il secondo 6 e il terzo 3 secondo la distribuzione voluta dal padre. Una volta risolto il problema, il matematico concluse con queste parole: “E adesso ridammi il mio cammello“.
Questa storia fornisce gli ingredienti di base della ricerca matematica e dell’estensione della ricerca creativa. Nella ricerca matematica, l’immaginazione è più importante della conoscenza. Quando un problema predefinito è irrisolvibile, un matematico si pone un nuovo problema. Questo è in netto contrasto con gli approcci classici che si attengono ai confini tradizionali. La nuova elegante soluzione spesso non soddisferà i vincoli iniziali. Tuttavia, spesso fornirà un nuovo punto di vista e una soluzione rivoluzionaria, per la quale vi sarà ampio consenso sul fatto che occorrerà modificare i vincoli iniziali per compiere un passo avanti. Naturalmente, in molti casi, il problema potrà essere risolto attenendosi ai vincoli iniziali, ma i matematici si sforzeranno comunque di generalizzare la soluzione fornendo l’ipotesi minima richiesta. La generalizzazione è fondamentale in matematica. Si tratta di un aspetto molto importante nelle applicazioni ingegneristiche per quella che viene chiamata la robustezza di una soluzione o l’estensione di un prodotto. La qualità della soluzione non dovrebbe discostarsi molto dall’ottimalità quando si verificano piccoli cambiamenti nel problema. Le scoperte fondamentali in matematica si basano spesso anche sull’esistenza di soluzioni, senza necessariamente fornire la costruzione algoritmica di esse. Ciò potrebbe sembrare una magia, ma è noto come prova non costruttiva (noto anche come teorema di pura esistenza), che prova l’esistenza di un particolare tipo di oggetto senza fornire un esempio. Si tratta di un aspetto molto importante che ha portato a importanti scoperte fondamentali nel campo delle TIC. Il famoso articolo di Shannon del 1948 “A Mathematical Theory of Communication” (Una teoria matematica della comunicazione) fornisce la cosiddetta capacità di un canale, ma Shannon l’ha dimostrato senza concepire uno schema di codifica pratico per realizzarlo.
Algoritmi per innovazioni pratiche
In cosa consiste esattamente un algoritmo? Un algoritmo in matematica è una procedura, una descrizione di una serie di passaggi che possono essere usati per risolvere un calcolo matematico. È un po’ come una ricetta di cucina. Fu proprio Al-Khwarizmi che lavorò a Baghdad nel IX° secolo a dare origine al termine algoritmo. Gli algoritmi sono onnipresenti e molti di noi hanno familiarità con l’algoritmo di Viterbi, la Trasformata di Fourier veloce, l’algoritmo di “branch and bound”, l’algoritmo di aspettazione-massimizzazione (Algoritmo EM), l’algoritmo di Dijkstra, la discesa del gradiente, il metodo di Newton o l’algoritmo LLL, solo per citarne alcuni. Gli algoritmi hanno un impatto enorme nello sviluppo dell’industria delle telecomunicazioni e alcuni sono diventati indispensabili. Il percorso dalla matematica fondamentale agli algoritmi matematici e successivamente alle applicazioni ingegneristiche è lungo. La Trasformata di Fourier veloce ne è un esempio tipico. L’idea della Trasformata di Fourier veloce è quella di scomporre una funzione del tempo nelle sue frequenze costitutive. Viene insegnato in tutti i principali corsi di ingegneria elettrica in quanto fornisce una visione diretta del segnale da elaborare. Fu il matematico francese Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) a dare il via alla teoria che derivava da problemi di applicazione nella trasmissione del calore e nelle vibrazioni. Ci sono voluti molti anni per ottenere un algoritmo che lo implementasse. Sebbene esistano alcuni lavori preliminari del matematico tedesco Gauss sulla Trasformazione di Fourier veloce (DFT), è stato solo nel 1965 che James Cooley e John Tukey pubblicarono il famoso algoritmo della Trasformazione di Fourier veloce. La DFT divenne così il cardine di tutte le principali innovazioni tecnologiche come il Wi-Fi, l’ADSL, l’LTE o il DVB.
Qual è il prossimo passo?
Dal 1948, molte persone nel nostro campo non dispongono di documenti di riferimento che facciano loro da guida. Si sentono un po’ persi dopo Shannon. Si tenga presente che, da un punto di vista storico, il 1948 è stato un anno chiave nel campo delle TIC, in quanto vi sono stati molti altri contributi fondamentali. Il lavoro di Wiener “Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine” (La cibernetica: Controllo e comunicazione nell’animale e nella macchina) ha aperto la strada al campo dell’elaborazione dei segnali con molte applicazioni relative al rilevamento, alla stima e al controllo dei sistemi di comunicazione. Il libro “Theory of Games and Economic Behaviour” (Teoria dei giochi e del comportamento economico) di J. Von Neumann e O. Morgenstern ha aperto il campo della teoria dei giochi e più in generale dell’apprendimento dei sistemi agente. Tutti questi contributi hanno fornito gli elementi chiave per molti anni di ricerca algoritmica. Quale obiettivo si persegue per il 2028? Infatti, non abbiamo mai avuto così bisogno come oggi di strumenti matematici avanzati e alcuni nuovi strumenti fondamentali che ci consentono di andare oltre i limiti attuali sono già presenti (il limite di Shannon e quello di Nyquist , solo per citarne alcuni). Per molto tempo abbiamo tentato di migliorare sempre gli stessi modelli a causa della difficoltà nel confrontarci con i nuovi. Ma come si sa, non è perché le cose sono difficili che non osiamo, ma è perché non osiamo che sono difficili.
Mérouane Debbah
Director of the Mathematical and Algorithmic Science Laboratory presso il Huawei Research Center di Parigi
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24 ago 2020